考研数学二证明题

一、数列极限的证明

数列极限的证明是考研数学二的重点，常出现在大题中。一般会给出一个数列的通项公式或递推关系，要求证明该数列的极限存在并求出极限值。常用的方法是单调有界准则，即先证明数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，从而得出数列极限存在，再通过设极限值为，对数列的递推式两边取极限来求解的值。例如，已知数列满足，，可先证明该数列单调递增且有上界，进而得出极限存在，再求解出极限值为。

二、微分中值定理的相关证明

这是考研的重难点，综合性强，涉及知识面广。主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。通常会给出一个函数在某区间上的条件，要求证明存在一点满足某个中值等式。解题时，需要根据题目条件构造合适的辅助函数，再运用相应的中值定理进行证明。例如，设函数在上连续，在内可导，且，证明存在，使得，可构造辅助函数，然后利用罗尔定理进行证明。

三、方程根的问题

主要包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。一般会根据函数的性质，如单调性、极值等，来判断方程根的情况。例如，证明方程有且只有一个实根。可先令，求导判断其单调性，再结合函数的取值范围来确定根的个数。

四、不等式的证明

不等式的证明方法多样，常用的有利用函数的单调性、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。例如，证明当时，，可构造函数，通过求导判断其单调性来证明不等式。

五、定积分等式和不等式的证明

主要涉及的方法有微分学的常数变异法和积分学的换元法、分布积分法等。例如，证明，可通过对等式左边进行分部积分，再结合已知条件进行变形和推导。

六、线性代数中的证明题

主要涉及证明矩阵的性质，如可逆性、特征值等，以及线性方程组的解的性质。例如，证明矩阵可逆的充要条件是，可根据可逆矩阵的定义和行列式的性质进行证明；证明线性方程组有非零解的充要条件是，可利用矩阵的秩与线性方程组解的关系进行推导。